【expectation记忆口诀】在学习概率论与数理统计时，“期望”（Expectation）是一个非常重要的概念。为了帮助大家更好地理解和记忆“期望”的相关知识，下面将通过和表格的形式，系统地梳理“期望”的定义、计算方法、性质及常见分布的期望值，并附上一个便于记忆的口诀。
一、
“期望”是随机变量在长期试验中平均结果的理论值，可以理解为“平均收益”或“平均损失”。在实际应用中，它被广泛用于风险评估、投资决策等领域。
掌握“期望”的关键在于理解其数学表达式、不同分布下的计算方式以及它的基本性质。以下是一些核心知识点：
- 定义：对于离散型随机变量 $ X $，期望为 $ E(X) = \sum x_i P(X=x_i) $；对于连续型随机变量，期望为 $ E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx $。
- 线性性质：$ E(aX + b) = aE(X) + b $，其中 $ a, b $ 为常数。
- 独立变量的期望：若 $ X $ 和 $ Y $ 独立，则 $ E(XY) = E(X)E(Y) $。
- 期望的常见分布：
- 二项分布 $ B(n,p) $ 的期望为 $ np $
- 泊松分布 $ P(\lambda) $ 的期望为 $ \lambda $
- 正态分布 $ N(\mu,\sigma^2) $ 的期望为 $ \mu $
为了方便记忆，我们可使用以下口诀：
> “期望求平均，离散加权算；连续积分求，线性不变换。”
这个口诀涵盖了期望的基本思想和计算方式，适合快速回忆。
二、表格形式总结
| 概念 | 定义 | 公式 | 特点 |
| 期望 | 随机变量的平均值 | $ E(X) = \sum x_i P(X=x_i) $ 或 $ \int x f(x) dx $ | 表示长期平均结果 |
| 离散型期望 | 各取值乘以对应概率之和 | $ E(X) = \sum x_i P(X=x_i) $ | 适用于有限或可列个取值 |
| 连续型期望 | 密度函数与变量的积分 | $ E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx $ | 适用于连续变量 |
| 线性性质 | 常数倍和加法保持期望 | $ E(aX + b) = aE(X) + b $ | 便于简化计算 |
| 独立变量期望 | 独立变量乘积的期望 | $ E(XY) = E(X)E(Y) $ | 仅适用于独立变量 |
| 二项分布 | 成功次数的期望 | $ E(X) = np $ | $ n $ 次独立试验，每次成功概率 $ p $ |
| 泊松分布 | 事件发生次数的期望 | $ E(X) = \lambda $ | 描述稀有事件发生的概率 |
| 正态分布 | 平均值即期望 | $ E(X) = \mu $ | 对称分布，中心位置由 $ \mu $ 决定 |
三、记忆口诀回顾
> “期望求平均，离散加权算；连续积分求，线性不变换。”
这句口诀简明扼要，便于记忆和应用，帮助你在考试或实际问题中快速识别和计算期望。
通过以上内容，希望你能够更清晰地理解“期望”这一重要概念，并在实际应用中灵活运用。
