在概率论与数理统计的学习中，边缘分布是一个非常重要的概念。它描述了多维随机变量中某个单一维度上的概率分布情况。为了更好地理解这一概念，我们通过一个具体的例子来分析和计算边缘分布律。
假设我们有两个离散型随机变量X和Y，它们的联合概率质量函数（PMF）为：
P(X=x, Y=y) = f(x,y)
其中x属于X的所有可能取值集合，y属于Y的所有可能取值集合。
现在，让我们来看一个具体的例子：
例题：已知二维随机变量(X,Y)的联合概率分布如下表所示：
| | Y=0 | Y=1 | Y=2 |
|-------|-------|-------|-------|
| X=0 | 0.1 | 0.2 | 0.1 |
| X=1 | 0.15| 0.25| 0.15|
我们需要求出X和Y各自的边缘分布律。
首先，我们计算X的边缘分布律。对于每个x值，我们将该行的所有概率相加：
P(X=0) = P(X=0, Y=0) + P(X=0, Y=1) + P(X=0, Y=2)
= 0.1 + 0.2 + 0.1
= 0.4
P(X=1) = P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1) + P(X=1, Y=2)
= 0.15 + 0.25 + 0.15
= 0.55
因此，X的边缘分布律为：
P(X=0) = 0.4
P(X=1) = 0.55
接下来，我们计算Y的边缘分布律。对于每个y值，我们将该列的所有概率相加：
P(Y=0) = P(X=0, Y=0) + P(X=1, Y=0)
= 0.1 + 0.15
= 0.25
P(Y=1) = P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=1)
= 0.2 + 0.25
= 0.45
P(Y=2) = P(X=0, Y=2) + P(X=1, Y=2)
= 0.1 + 0.15
= 0.25
因此，Y的边缘分布律为：
P(Y=0) = 0.25
P(Y=1) = 0.45
P(Y=2) = 0.25
总结来说，边缘分布律是从联合分布律中提取单个变量的概率分布的一种方法。通过将联合分布律中某一维度上的所有概率累加起来，我们可以得到该维度上的边缘分布律。这种方法不仅适用于离散型随机变量，也可以推广到连续型随机变量的情况，只需使用积分代替求和即可。
