【单调区间怎么求】在数学中，函数的单调性是研究函数性质的重要内容之一。单调区间指的是函数在其定义域内某个区间上呈现出递增或递减的趋势。掌握如何求单调区间，有助于我们更深入地理解函数的变化规律。
一、单调区间的定义
- 单调递增：在区间 $ (a, b) $ 上，若对于任意的 $ x_1 < x_2 $，都有 $ f(x_1) \leq f(x_2) $，则称函数在该区间上单调递增。
- 单调递减：在区间 $ (a, b) $ 上，若对于任意的 $ x_1 < x_2 $，都有 $ f(x_1) \geq f(x_2) $，则称函数在该区间上单调递减。
二、求单调区间的基本步骤
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 确定函数的定义域 |
| 2 | 求出函数的一阶导数 $ f'(x) $ |
| 3 | 解不等式 $ f'(x) > 0 $ 和 $ f'(x) < 0 $，找出函数的增区间和减区间 |
| 4 | 注意导数为零的点（临界点）以及不可导点，这些可能是单调区间的分界点 |
| 5 | 综合所有结果，写出函数的单调区间 |
三、示例分析
例题：求函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 的单调区间。
解题过程：
1. 定义域：$ (-\infty, +\infty) $
2. 求导：$ f'(x) = 3x^2 - 3 $
3. 解不等式：
- $ f'(x) > 0 $：即 $ 3x^2 - 3 > 0 $ → $ x^2 > 1 $ → $ x < -1 $ 或 $ x > 1 $
- $ f'(x) < 0 $：即 $ 3x^2 - 3 < 0 $ → $ x^2 < 1 $ → $ -1 < x < 1 $
结论：
- 单调递增区间：$ (-\infty, -1) $ 和 $ (1, +\infty) $
- 单调递减区间：$ (-1, 1) $
四、注意事项
- 导数为零的点可能是一个极值点，也可能是拐点，需结合二阶导数进一步判断。
- 若函数在某点不可导，应单独考虑该点附近的单调性。
- 多个单调区间之间通常由临界点或不可导点隔开。
五、总结表格
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 函数在某一区间上呈现递增或递减趋势 |
| 方法 | 通过一阶导数的符号判断单调性 |
| 步骤 | 1. 确定定义域；2. 求导；3. 解不等式；4. 分析临界点；5. 综合结果 |
| 示例 | $ f(x) = x^3 - 3x $ 的单调区间为 $ (-\infty, -1) $、$ (-1, 1) $、$ (1, +\infty) $ |
| 注意事项 | 导数为零或不可导的点需特别关注 |
通过以上方法，我们可以系统地分析并求出函数的单调区间，从而更好地把握函数的整体变化趋势。
