【求函数的间断点具体步骤例题】在数学分析中，函数的间断点是函数图像出现不连续的地方。理解并识别函数的间断点对于学习微积分和函数性质非常重要。本文将系统地总结求函数间断点的具体步骤，并通过典型例题进行说明。
一、求函数间断点的具体步骤
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 确定定义域：找出函数在哪些点上没有定义，这些点可能是间断点的候选。例如分母为零、根号下负数等。 |
| 2 | 检查极限是否存在：对每个可能的间断点，分别计算其左极限和右极限，判断是否相等。 |
| 3 | 判断类型：根据左右极限是否存在及是否相等，判断间断点的类型（可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点或振荡间断点）。 |
| 4 | 总结结果：列出所有间断点及其类型，完成分析。 |
二、典型例题解析
例题1：
函数 $ f(x) = \frac{1}{x - 1} $
- 定义域：$ x \neq 1 $
- 检查点：$ x = 1 $
- 左右极限：
- 左极限：$ \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x - 1} = -\infty $
- 右极限：$ \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x - 1} = +\infty $
- 结论：$ x = 1 $ 是无穷间断点
例题2：
函数 $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} $
- 化简：$ f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1 $（当 $ x \neq 1 $）
- 定义域：$ x \neq 1 $
- 检查点：$ x = 1 $
- 左右极限：
- $ \lim_{x \to 1} f(x) = 2 $
- 结论：$ x = 1 $ 是可去间断点，因为极限存在但函数在此处无定义。
例题3：
函数 $ f(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right) $
- 定义域：$ x \neq 0 $
- 检查点：$ x = 0 $
- 左右极限：
- 当 $ x \to 0^+ $ 或 $ x \to 0^- $，$ \sin\left(\frac{1}{x}\right) $ 在 [-1, 1] 之间震荡，极限不存在
- 结论：$ x = 0 $ 是振荡间断点
三、总结表格
| 函数表达式 | 定义域 | 间断点 | 间断点类型 | 说明 |
| $ \frac{1}{x - 1} $ | $ x \neq 1 $ | $ x = 1 $ | 无穷间断点 | 极限趋向无穷大 |
| $ \frac{x^2 - 1}{x - 1} $ | $ x \neq 1 $ | $ x = 1 $ | 可去间断点 | 极限存在但函数未定义 |
| $ \sin\left(\frac{1}{x}\right) $ | $ x \neq 0 $ | $ x = 0 $ | 振荡间断点 | 极限不存在，函数值震荡 |
四、结语
求解函数的间断点是一个逻辑清晰、步骤明确的过程。通过逐步分析函数的定义域、极限行为以及间断点的类型，可以准确识别出函数的不连续点，并进一步理解其图像特性。掌握这一方法不仅有助于考试应对，也为后续的函数分析打下坚实基础。
